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条件句与对偶命题 (Conditional and cont

发布时间:2020-07-17 浏览量:889人次

在数学上,有许多叙述句皆具有下列形式:\(P\) 蕴涵 \(Q\)

而它的意义即为:若 \(P\) 为真,则 \(Q\) 也必须为真 

此外,尚包含了其它与蕴涵相关的术语,例如:若 \(P\) 则 \(Q\) 、\(P\) 是 \(Q\) 的充分条件、\(P\) 唯若 \(Q\)、\(Q\) 若 \(P\) 以及 \(Q\) 是 \(P\) 的必要条件等,而这些术语的意义皆相同。例如,「若 \(n^2\) 为偶数,则 \(n\) 为偶数」、「若 \(x\) 与 \(y\) 皆为有理数,则 \(x+y\) 为有理数」以及「若 \(\Delta ABC\) 为直角三角形,则斜边平方等于两股之平方和」等,都是此类具蕴涵关係的叙述句。

一般而言,蕴涵关係包含了涉及真值(truth)的条件句与因果关係(causation)两部份,我们以符号「\(P \Rightarrow Q\)」来表示 \(P\) 蕴涵 \(Q\) 的真值部份,并把具「\(P \Rightarrow Q\)」这种形式的句子,称为条件表达式或简称为条件句。其中 \(P\) 的称为前项或前件(antecedent), \(Q\) 则称为后项或后件(consequent)。

一个条件句的真值,可利用其前项与后项的真值来定义。换句话说,条件句 \(P \Rightarrow Q\) 是否为真,完全取决于 \(P\) 与 \(Q\) 的真假值。首先,若 \(P\) 与 \(Q\) 之间存在实值的蕴涵关係,那幺 \(P\) 蕴涵了 \(Q\),因此,\(P\) 的真值蕴涵了 \(Q\) 的真值。所以,当 \(P\) 与 \(Q\) 皆为真时,\(P \Rightarrow Q\) 当然为真。

若 \(P\) 为真但 \(Q\) 为假呢?如果发生了虽然 \(P\) 为真但 \(Q\) 仍为假的情况,这意味着 \(P\) 并不蕴涵 \(Q\),即意 条件句与对偶命题 (Conditional and cont,换言之,\(P \Rightarrow Q\) 为假。因此,我们将 条件句与对偶命题 (Conditional and cont 为真,定义成「\(P\) 为真但 \(Q\) 为假」。接着,又因为其否定叙述为 \(P \Rightarrow Q\),因此,当 条件句与对偶命题 (Conditional and cont 假时,条件句 \(P \Rightarrow Q\) 为真。

如此一来,我们只要检查 条件句与对偶命题 (Conditional and cont 的定义「\(P\) 为真但 \(Q\) 为假」便可知,只要满足下列条件之一,那幺 \(P \Rightarrow Q\) 为真:

如此,可得表一中「\(P \Rightarrow Q\) 之逻辑真值表」。

条件句与对偶命题 (Conditional and cont

表一\(~~~P \Rightarrow Q\) 之逻辑真值表 

在表二里,我们造出 \(P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg P \lor Q\) 之逻辑真值表,
从此表中,我们发现 \(P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg P \lor Q\) 的逻辑真值表完全相同,
因此,\(P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg P \lor Q\) 在逻辑上等价。 

条件句与对偶命题 (Conditional and cont

表二\(~~~P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg P \lor Q\) 之逻辑真值表

在表三里,我们则造出 条件句与对偶命题 (Conditional and cont 与 \(P\land \neg Q\) 之逻辑真值表,
从此表中,我们发现条件句与对偶命题 (Conditional and cont 与 \(P\land \neg Q\) 的逻辑真值表完全相同,
因此,条件句与对偶命题 (Conditional and cont 与 \(P\land \neg Q\) 在逻辑上等价

条件句与对偶命题 (Conditional and cont
表三\(~~~\)条件句与对偶命题 (Conditional and cont 与 \(P\land \neg Q\) 之逻辑真值表

最后,我们把 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 称为 \(P \Rightarrow Q\) 的对偶命题。
从表四来看,我们发现 \(P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 的逻辑真值表完全相同,
因此,\(P \Rightarrow Q\) 与 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 在逻辑上等价。
一般而言,一个条件句会与其对偶命题在逻辑上等价。
因此,当我们需要证明诸如 \(P \Rightarrow Q\) 之蕴涵关係时,
可透过证明其对偶命题 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 的方式。

条件句与对偶命题 (Conditional and cont

表四\(~~~P\Rightarrow Q\) 与 \(\neg Q\Rightarrow \neg P\) 之逻辑真值表

我们举一个高中课程里常见的例子来说明对偶命题的等价性。
设 \(n\) 为正整数,当我们想要证明叙述句「若 \(n^2\) 为偶数,则 \(n\) 为偶数」时,发现并不好下手(读者可自行思考、尝试),因此,可转而证明「若 \(n\) 不为偶数,则 \(n^2\) 不为偶数」。证明如下:

因为 \(n\) 为正整数且不为偶数,所以,\(n\) 为奇数,
故可设 \(n=2k-1\),其中,\(k\) 为正整数。
则 \({n^2} = {(2k – 1)^2} = 4{k^2} + 4k + 1 = 2(2{k^2} + 2k) + 1\) 必为奇数,
故 \(n^2\) 不为偶数。
如此,证明了「若 \(n\) 不为偶数,则 \(n^2\) 不为偶数」为真,
亦相当于证明了「若 \(n^2\) 为偶数,则 \(n\) 为偶数」为真。

而上述证明方法是间接证法的一种,有时又被称为反证法。
综言之,利用 \(P\Rightarrow Q\) 与 \(\neg Q \Rightarrow \neg P\) 在逻辑上等价,因此,若证明了「\(\neg Q \Rightarrow \neg P\)」为真,则相当于证明了「\(P\Rightarrow Q\)」为真。

参考文献:

齐斯.德福林(Keith Devlin)着(洪万生、黄俊玮等译),《这个问题,你用数学方式想过吗?》。
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