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条件机率(3):一个问题的澄清(Conditional Pr

发布时间:2020-07-17 浏览量:896人次

连结:条件机率(2):乘法定律

再次重述在〈条件机率(2):乘法定律〉中所提出问题:

某人拜访有两个孩子的一对夫妇,当场已有一个男孩在座。假设生男生女的机会相等,求此夫妇两小孩皆为男孩的机率?

或许几经思考,这个问题总让你联想对应到〈条件机率(1):定义〉中提及的某个典型的例题:

投掷公正硬币两次,已知掷出一次正面的情形下,求投掷两次皆为正面的机率。

那幺,何以机率为 \(\frac{1}{3}\),这个看来似乎正确答案值得商榷?这正是本文的目的,透过这个问题的讨论,希望能够建立起将机率应用在实际生活问题时,需要更加小心的印象。以下容我们加以说明原由。

为了便于说明,不妨令 \(B_1,B_2\) 分别表示老大,老二是男孩的事件;

\(G_1,G_2\) 分别表示老大、老二是女孩的事件;\(B\) 则表示在座为男孩的事件。

进一步,我们可知 \(\{ {B_1} \cap {B_2},{B_1} \cap {G_2},{G_1} \cap {B_2},{G_1} \cap {G_2}\}\) 恰为我们所讨论样本空间的一组分割,且 \(P({B_1} \cap {B_2}) = P({G_1} \cap {B_2}) = P({B_1} \cap {G_2}) = P({G_1} \cap {G_2}) = \frac{1}{4}\)。

同时,\({B_1} \cap {B_2} \subset B\),\({G_1} \cap {G_2} \cap B = \emptyset \),而问题所求恰为 \(P({B_1} \cap {B_2}|B)\)。

依题意,\(P({B_1} \cap {B_2}|B) = \frac{{P({B_1} \cap {B_2} \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{P({B_1} \cap {B_2})}}{{P(B)}}\)

条件机率(3):一个问题的澄清(Conditional Pr

由上图可知,

\(\begin{array}{ll}P(B) &= P(B \cap {B_1} \cap {B_2}) + P(B \cap {G_1} \cap {B_2}) + P(B \cap {B_1} \cap {G_2}) + P(B \cap {G_1} \cap {G_2})\\&= \frac{1}{4} + P(B \cap {G_1} \cap {B_2}) + P(B \cap {B_1} \cap {G_2})\end{array}\)

由于问题并没有提供说明在座男孩的资讯,我们不妨考虑下列几个情形:

情形一

若因训练礼仪之故,这对夫妇要求有客人到访时,家中小孩务必有一人需要在场。令老大在场的机率为 \(p\),则老二在场的机率为 \(1-p\)。

那幺,\(P(B \cap {B_1} \cap {G_2}) = \frac{p}{4}\),\(P(B \cap {G_1} \cap {B_2}) = \frac{{1 – p}}{4}\)

则 \(P(B) = \frac{1}{4} + \frac{{1 – p}}{4} + \frac{p}{4} = \frac{1}{2}\)

因此,\(\displaystyle P({B_1} \cap {B_2}|B) = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\)

看见了吗?在情形一之下,问题的机率为 \(\frac{1}{2}\),且与 \(p\) 值无关。接着,考虑另一种可能的情况。

情形二

当两小孩性别不同时,这对夫妇要求有客人到访时,家中男孩务必需要在座。

那幺,\(P(B \cap {B_1} \cap {G_2}) = \frac{1}{4}\),\(P(B \cap {G_1} \cap {B_2}) = \frac{1}{4}\)。

则 \(P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

因此,\(\displaystyle P({B_1} \cap {B_2}|B) = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{3}\)

这说明问题的答案 \(\frac{1}{3}\) 也是可能之一,以及此答案成立的情形。

进一步,在情形二中若令家中男孩在座的机率为 \(p\),则此条件机率 \(P({B_1} \cap {B_2}|B)\) 是 \(p\) 的函数 \((0\le p \le 1)\)。

从上述的说明可知,上述问题所涉及的样本空间不只是 \({B_1} \cap {B_2},{B_1} \cap {G_2},{G_1} \cap {B_2},{G_1} \cap {G_2}\) 等4个元素,还需要加上小孩排序的因素。我们若要完整讨论,得要列出有 \(8\) 个元素的样本空间才够,这从题意中很难直接看到,恐怕得要是个相当熟稔条件机率,且能缜密考虑的解题者才能圆满解出!无怪乎黄文璋教授在〈机率应用不易〉一文特别提到:「机率很难,尤其条件机率。」这话不只在勉励初学机率的学生,恐怕更想劝诫老师们在布题时要多加谨慎才是。此外,这篇〈机率应用不易〉的文章,深入地讨论机率之困难掌握的问题,其中也涵盖本文所举的问题,有兴趣的读者,不妨寻来读之,收获必定良多。

参考文献:

黄文璋,〈机率应用不易〉,《数学传播》,34(1)(台北:2010),页14-28。
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