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条件机率(2):乘法定律(Conditional Proba

发布时间:2020-07-17 浏览量:717人次

连结:条件机率(1):定义

在回答〈条件机率(1):定义〉最后留下的问题前,

我们再来看条件机率的定义:\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\),\(P(A)>0\)。

将式子整理可得 \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\)

这个式子说明着:事件 \(A\) 和 \(B\) 两事件同时发生的机率,会等于事件 \(A\) 发生的机率乘上在 \(A\) 发生的条件下事件 \(B\) 发生的机率。它不仅揭示了讨论条件机率的必要性,也告诉我们数个事件同时发生的机率,该如何依次处理。进一步,我们能推论下列式子都是成立的:

(1)   若 \(P(B)>0\),\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right)\)

(2)   若 \(P(A \cap B) > 0\),\(P\left( {A \cap B \cap C} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\) 

其中(1)式显然成立,(2)式则可推证如下:

\(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B \cap C} \right) &= P\left( {\left( {A \cap B} \right) \cap C} \right) \\&= P\left( {A \cap B} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right) \\&= P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\end{array}\)

事实上,(2)式说明了 \(A,B,C\) 三个事件同时发生的机率,会等于事件发生的机率乘上在 \(A\) 发生的条件下事件 \(B\) 发生的机率,再乘上在 \(A\) 同时发生的条件下事件 \(C\) 发生的机率。依此,我们就能推测更多事件同时发生的机率,皆可依此类推而得,此一结果被称为条件机率的乘法定律

接着,我们来看看先前这个问题:
袋子里有 \(3\) 颗白球,\(2\) 颗黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 \(1\) 颗球,抽取后不放回。若每颗球被取出的机会相等,请问在甲和乙抽到相同颜色球的条件下,丙抽到白球之条件机率?

由〈条件机率(1):定义〉文中的讨论已知,在甲乙两人抽出同色球的条件下,\(\{\)白白白\(\}\) 表三人均抽白球,是甲乙丙三人抽球的情形之一,其机率计算如下:令 \(A,B,C\) 表示甲、乙、两三人分别抽中白球的事件;\(A’,B’,C’\) 表示甲、乙、两三人分别抽中黑球的事件。那幺,

\(P(\)白白白\()=P(A\cap B\cap C)\)
\(\begin{array}{ll}~~~~~~~~~&= P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\\~~~~~~~~~&= \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{{60}} = \frac{1}{{10}}\end{array}\)

同理,

\(P(\)白白黑\()= P(A \cap B \cap C’) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{{12}}{{60}} = \frac{1}{5}\)
\(P(\)黑黑白\()= P(A’ \cap B’ \cap C) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{{6}}{{60}} = \frac{1}{10}\)

上述三种情形的机率并不完全相同,表示甲乙抽出同色球的事件集合 \(\{\)白白白,白白黑,黑黑白\(\}\)中,三个基本事件出现的机会并不均等,因此,我们不能直接使用比值 \(\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\) 来表示条件机率 \(P\left( {B|A} \right)\),这是初学者必须留意之处,同时也是学习古典机率需要特别注意的一点!所以,

\(P(\)丙抽中白球|甲乙两人抽中同色球\()\)
\(\displaystyle~~~~~~~~~=\frac{{P(A \cap B \cap C) + P(A’ \cap B’ \cap C)}}{{P(A \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C’) + P(A’ \cap B’ \cap C)}}\)
\(\displaystyle~~~~~~~~~= \frac{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}}}}{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{2}\)

我们若回头检视〈条件机率(1):定义〉中其他使用 \(\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\) 为答案的问题,将会发现它们在各自「限缩」样本空间中的每个基本事件出现机会都是均等的。

然而,条件机率值得小心之处不只如此!请见下面这个问题:

某人拜访有两个孩子的一对夫妇,当场已有一个男孩在座。若假设生男生女的机会相等,求此夫妇两小孩皆为男孩的机率?

一个常见的解法为:已知有位男孩在座,
因此,这对夫妇有两个孩子的情形为 \(\{\)男男,男女,女男\(\}\),
并且,\(P(\)男男\()=P(\)男女\()=P(\)女男\()=P(\)女女\()=\frac{1}{4}\)。
因此,\(P(\)男男|已知有一男孩\()=\frac{1}{3}\)。然而,这个解法颇有值得商榷之处!请先耐着性子想想问题可能的原因为何?在〈条件机率(3):一个问题的澄清〉中我们会再详细讨论。

连结:条件机率(3):一个问题的澄清

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