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条件机率(1):定义(Conditional Probabi

发布时间:2020-07-17 浏览量:748人次

条件机率(Conditional Probability),如同字面意义,是在假设某事件发生的条件下,考虑原本事件发生的机率。例如,投掷公正硬币两次,出现两次正面的机率为 \(\frac{1}{4}\)。若我们加上「已知第一次掷出正面」的条件的话,那幺出现两正面的机率将变成 \(\frac{1}{2}\)。事实上,若是掌握条件机率的定义,倒也不难理解箇中变化:

设 \(A,B\) 为两事件且 \(P(A)>0\)。
在事件 \(A\) 发生的情况下,事件 \(B\) 发生的机率的条件机率,以 \(P(B|A)\) 表示,
且定义 \(\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)。

设第一次掷出正面的事件为 \(A\),出现两正面的事件为 \(B\)。那幺,投掷公正硬币两次的样本空间 \(S=\{\)正正,正反,反正,反反\(\}\),\(A=\{\)正正,正反\(\}\),\(B=\{\)正正\(\}\),\(A\cap B=\{\)正正\(\}\)。

因此,\(P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\),\(P(B)=\frac{1}{4}\),\(P(A\cap B)=\frac{1}{4}\),
故 \(P(B|A) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{{\textstyle{1 \over 4}}}}{{{\textstyle{1 \over 2}}}} = \frac{1}{2}\)。

让我们改变上述问题的条件,再来练习条件机率:

投掷公正硬币两次。在已知掷出一次正面的情形下,求投掷两次皆为正面的机率。

延续上述的符号,并且设掷出一次正面的事件为 \(C\),则 \(C=\{\)正正,正反,反正\(\}\),\(A\cap C=\{\)正正\(\}\)。因此,\(P(B|C) = \frac{{{\textstyle{1 \over 4}}}}{{{\textstyle{3 \over 4}}}} = \frac{1}{3}\)。

换言之,在条件的影响下,事件的机率通常会产生变化。并且,不同的条件常常造成机率的改变,这使得原本惧怕机率的同学常觉得条件机率更是「难以掌握」。进一步,依据古典机率的定义,我们可以推得

\(\displaystyle P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( S \right)}}}}{{\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( S \right)}}}} = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\)

式中 \(\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\)比值的意义是:

将样本空间「限缩」在事件 \(A\) 上,考虑事件 \(B\) 发生的机率,
此一诠释符合条件机率的意涵,也呼应古典机率的定义。

不妨再回头检视上述提及的问题,更能确定此一诠释的正确性:

\(A=\{\)正正,正反\(\}\),\(A\cap B=\{\)正正\(\}\),所以 \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{1}{2}\);\(C=\{\)正正,正反,反正\(\}\),\(A\cap C=\{\)正正\(\}\),因此 \(P\left( {B|C} \right) = \frac{{n\left( {A \cap C} \right)}}{{n\left( C \right)}} = \frac{1}{3}\)。

事实上,「限缩样本空间」的看法,常能帮忙我们解决情况较为複杂的条件机率问题,例如99年数甲的问题:

一个抽奖活动依排队顺序抽奖,轮到抽奖的人有一次抽奖机会,抽奖方式为丢掷一枚公正铜板,正面为中奖,反面为没中奖。奖品有三份,活动直到三份奖品都被抽中为止,则在排第四位的人可以抽奖的情况下,排第五位的人可以抽奖的条件机率为何?

解法一:

令第四位可抽奖的事件为 \(A\),第五位可抽奖的事件为 \(B\),
由于第四位可抽奖,表示前三位的丢掷情形有下列三种
情形(1):二正面一反面,机率为 \(C_1^3{(\frac{1}{2})^3} = \frac{3}{8}\);
情形(2):一正面二反面,机率为 \(C_2^3{(\frac{1}{2})^3} = \frac{3}{8}\);
情形(3):三个反面,机率为 \(C_3^3{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{8}\);
机率 \(P(A) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)。
接下来,第五位可以抽奖的状况:若是情形(1),第四位需丢掷反面;情形(2)(3),第四位任意丢掷皆可。
因此,\(P(A \cap B) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \times 1 + \frac{1}{8} \times 1 = \frac{{11}}{{16}}\),
故 \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{{11}}{{16}}}}{{\frac{7}{8}}} = \frac{{11}}{{14}}\)。

解法二:如下图,我们将前面四位的各种抽奖情形列出,为了便于表示,丢掷正面以 \(+\) 表示;丢掷反面以 \(-\) 表示。

条件机率(1):定义(Conditional Probabi

由图易知,蓝色和黄色部份表示第四位能抽奖的情形,共有 \(14\) 种。

其中,蓝色为第五位能继续抽奖的情形,有 \(11\) 种。因此,\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{{11}}{{14}}\)。

你看解法二是不是比解法一来得直接易懂呢!

不过,是否从此就能踏上解决条件机率问题的坦途?那倒也未必,请看102年学测的问题:

袋子里有 \(3\) 颗白球,\(2\) 颗黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取颗球,抽取后不放回。若每颗球被取出的机会相等,请问在甲和乙抽到相同颜色球的条件下,丙抽到白球之条件机率为何? (1) \(\frac{1}{3}\) (2)\(\frac{5}{12}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{3}{5}\) (5) \(\frac{2}{3}\)

或许你是这幺想的:由于抽球的情形不是白就是黑,因此,甲乙两人抽出同色球的事件集合为 \(\{\)白白白,白白黑,黑黑白\(\}\)。因此,在甲和乙抽到相同颜色球的条件下﹐丙抽到白球的条件机率为 \(\frac{2}{3}\),答案为(5)。可惜的是,这题的正确解答为(3),为什幺?若你是依循上述思路的话,请试着想想失落的环节是什幺,在下一篇文章〈条件机率(2):乘法定律〉中将会提出说明。

连结:条件机率(2):乘法定律

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